Question

以a，b，c为三边的直角三角形的周长的数值与面积的数值相等，且a，b，c为自然数，求证：关于x的方程x²-（a+b+c）x+abc=0无实数根．

Answer 1

证明：∵x²-（a+b+c）x+abc是关于a，b，c的轮换对称式，
∴不妨设a，b为直角边，c为斜边，
则根据题意有：a²+b²=c²，a+b+c=ab，
∴a+b=ab-c，两边平方得：a²+2ab+b²=a²b²-abc+c²，
∴abc=a²b²-2ab，
又∵△=（a+b+c）²-4abc=a²b²-4（a²b²-2ab）=ab（32-3ab），
而a，b，c为自然数，
则a，b的最小值为3，4，即ab≥12，
∴32-3ab＜0，
即△＜0，
所以关于x的方程x²-（a+b+c）x+abc=0无实数根．
分析：要证明关于x的方程x²-（a+b+c）x+abc=0无实数根，只有证明△＜0即可．而△=（a+b+c）²-4abc，根据a，b，c为三边的直角三角形的周长的数值与面积的数值相等（不妨设a，b为直角边，c为斜边），可以通过代数式变形得到abc=a²b²-2ab，把△变为（a+b+c）²-4abc=a²b²-4（a²b²-2ab）=ab（32-3ab），最后根据a，b，c为自然数，找到最小的直角边即可证明△＜0．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了代数式的变形能力、勾股定理以及三角形的面积公式．