Question

如图，OA是⊙O的半径，OA=24cm．动点P从A点出发，以2πcm/s的速度沿圆周顺时针运动．
（1）当路程AP=5π时，求点P运动了多少秒？
（2）在OA的延长线上取一点B，使得AB=OA，当P运动时间为4s时，请判断BP与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）5π÷2π=2.5秒，
∴点P运动了2.5秒；

（2）如图，当点P运动的时间为4s时，直线BP与⊙O相切
理由如下：
当点P运动的时间为4s时，点P运动的路程为16πcm，
连接OP，PA；
∵⊙O的周长为48πcm，
∴的长为⊙O周长的，
∴∠POA=60°；
∵OP=OA，
∴△OAP是等边三角形，
∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；
∵AB=OA，
∴AP=AB，
∵∠OAP=∠APB+∠B，
∴∠APB=∠B=30°，
∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，
∴OP⊥BP，
∴直线BP与⊙O相切．
分析：（1）已知运动速度和运动路程求运动时间，用5π÷2π即可；
（2）直线BP与⊙O的位置关系是相切，根据已知可证得OP⊥BP，即直线BP与⊙O相切．
点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．