Question

如图，BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC，垂足为H，已知AD=8，OH=3．
（1）求⊙O的半径；
（2）若E是弦AD上的一点，且∠EBA=∠EAB，求线段BE的长．

Answer 1

解：（1）连接OA，
∵BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC，
∴AH=AD=4，
在Rt△AOH中，AH=4，OH=3，
根据勾股定理得：OA==5，
则⊙O的半径为5；
（2）∵∠EBA=∠EAB，∴AE=BE，
设BE=AE=x，
在Rt△BEH中，BH=5-3=2，EH=4-x，
根据勾股定理得：2²+（4-x）²=x²，
解得x=2.5，
则BE的长为2.5．
分析：（1）连接OA，由CB为直径，AD为弦，且CB垂直于AD，利用垂径定理得到H为AD的中点，由AD的长求出AH的长，在直角三角形AOH中，由AH与OH的长，利用勾股定理求出OA的长，即为圆O的半径；
（2）由已知的两个角相等，利用等角对等边得到AE=BE，在直角三角形BEH中，设BE=AE=x，则有EH=AH-AE=4-x，BH=5-3=2，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出BE的长．
点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，利用了方程的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．