Question

如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连接OD并延长交大圆于点E，连接BE交AC于点F，已知AC=，大、小两圆半径差为2．
（1）求大圆半径长；
（2）求线段BF的长；
（3）求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．

Answer 1

解：（1）∵AD是小圆的切线，D为切点，
∴OD⊥AD，
在Rt△AOD中，AD=AC=2，OD=OE-2=OA-2，
∴OA²=AD²+OD²=+（OA-2）²，
解关于OA的方程得：OA=3．
所以大圆的半径为3．

（2）连接BC，AE，∵OD⊥AC，
∴=，
∴∠ACE=∠EBC，
又∵∠BEC=∠CEF，
∴△EBC∽△ECF，
∴EC²=EF•EB．
在Rt△CDE中，CD=AC=2，DE=2，
∴EC²==12=AE²．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
∴BE²=AB²-AE²=36-12=24，
∴BE=2．
∵EC²=BE•EF，
∴12=2（2-BF），
解得：BF=．

（3）证明：如图：设过B，F，C三点的圆的圆心为O′，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BF是⊙O′的直径，
连接BC，O′C，则∠O′FC=∠O′CF
又∵∠CBF=∠FCE，∴∠O′CE=∠O′CF+∠FCE=∠O′FC+∠CBF=90°
∴O^′C⊥EC．
故EC是⊙O^′的切线．
分析：（1）根据题意可以知道，△AOD是直角三角形，AD=2，OD=OE-2=OA-2．然后利用勾股定理可以求出大圆的半径．（2）根据垂径定理得到AE=CE，=，用相等的弧所对的圆周角相等，证明两个三角形相似，得到对应线段的关系，结合勾股定理计算，求出BF的长．（3）利用第（2）题中的结论和直径所对的圆周角是直角，以及等边对等角，证明∠O^′CE是直角，得到EC是⊙O^′的切线．
点评：本题考查的是垂径定理，（1）题根据垂径定理，构成直角三角形，利用勾股定理计算大圆的半径．（2）题根据垂径定理得到EC的长，然后由勾股定理计算BE的长，由三角形相似得到对应线段的关系，求出BF的长．（3）题根据直径所对的圆周角是直角，以及（2）题中两三角形相似，对应的角相等，用等量代换，得到∠O^′CE是直角，证明CE是⊙O^′的切线．