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如图①,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点C,AD⊥EF,垂足为D.
(1)求证:∠DAC=∠BAC;
(2)若把直线EF向上平行移动,如图②,EF交⊙O于G、C两点,若题中的其它条件不变,猜想:此时与∠DAC相等的角是哪一个?并证明你的结论.
分析:(1)连接BC,OC,由半径OC=OA,根据等边对等角可得出一对角相等,再由OC与AD都与EF垂直,得到OC与AD平行,根据两直线平行内错角相等可得一对内错角相等,等量代换可得出∠DAC=∠BAC,得证;
(2)∠BAG=∠CAD,理由如下:连接BC,由AB为圆O的直径,根据直径所对的圆周角为直角可得出∠BCA为直角,即三角形ABC为直角三角形,根据直角三角形中的两个锐角互余可得出一对角互余,由AD垂直于EF,可得出三角形AGD为直角三角形,同理得到一对锐角互余,再由同弧所对的圆周角相等可得出∠B与∠AGD相等,进而确定出∠BAG=∠GAD,等式两边都减去∠CAG即可得到∠BAC=∠GAD,得证.
解答:
解:(1)连接OC,如图①所示,
∵OC=OA,
∴∠BAC=∠OCA,
∵EF切⊙O于C,
∴OC⊥EF,又AD⊥EF,
∴OC∥AD,
∴∠OCA=∠DAC,
∴∠DAC=∠BAC;                          
(2)∠BAG=∠DAC,理由如下:
连接BC,如图②所示,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠BCA=90°,
∴∠B+∠BAC=90°,
∵AD⊥EF,∴∠ADG=90°,
∴∠AGD+∠GAD=90°,
AC
=
AC
,∴∠B=∠AGD,
∴∠BAC=∠GAD,
∴∠BAG+∠GAC=∠GAC+∠DAC,即∠BAG=∠DAC.
点评:此题考查了切线的性质,等腰三角形的性质,平行线的性质,圆周角定理,利用了等量代换及转化的思想,连接出相应的辅助线,灵活运用性质及定理是解本题的关键.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

34、关于图形变化的探讨:
(1)①例题1.如图1,AB是⊙O的直径,直线l与⊙O有一个公共点C,过A、B分别作l的垂线,垂足为E、F,则EC=CF.
②上题中,当直线l向上平行移动时,与⊙O有了两个交点C1、C2,其它条件不变,如图2,经过推证,我们会得到与原题相应的结论:EC1=C2F.
③把直线1继续向上平行移动,使弦C1C2与AB交于点P(P不与A,B重合).在其它条件不变的情况下,请你在图3的圆中将变化后的图形画出来,标好对应的字母,并写出与①②相应的结论等式.判断你写的结论是否成立,若不成立,说明理由,若成立,给以证明.结论
EC1=C2F
.证明结论成立或说明不成立的理由
(2)①例题2.如图4,BC是⊙O的直径.直线1是过C点的切线.N是⊙O上一点,直线BN交1于点M.过N点的切线交1于点P,则PM2=PC2
②把例题2中的直线1向上平行移动,使之与⊙O相交,且与直线BN交于B、N两点之间.其它条件仍然不变,请你利用图5的圆把变化后的图形画出来,标好相应的字母,并写出与①相应的结论等积式,判断你写的结论是否成立,若不成立,说明理由,若成立,给以证明.结论
PM2=PC1•PC2
.证明结论成立或说明不成立的理由:
(3)总结:请你通过(1)、(2)的事实,用简练的语言,总结出某些几何图形的一个变化规律
在某些几何图形中,平行移动某条直线,有些几何关系保持不变.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,AB是⊙O的直径,直线l交⊙O于C1、C2,AD⊥l,垂足为D.
(1)求证:AC1•AC2=AB•AD.
(2)若将直线l向上平移(如图2),交⊙O于C1、C2,使弦C1C2与直径AB相交(交点不与A、B重合),其他条件不变,请你猜想,AC1、AC2、AB、AD之间的关系,并说明理由.
(3)若将直线l平移到与⊙O相切时,切点为C,其他条件不变,请你在图3上画出变化后的图形,标好相应的字母并猜想AC、AB、AD的关系是什么?(只写出关系,不加以说明)精英家教网

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,若AB是⊙0的直径,CD是⊙O的弦,∠C=30°,BD=1,则⊙O的半径是(  )

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•海沧区一模)如图,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=50°,则∠BCD=
40°
40°

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,弦AB是⊙O的内接正方形的一条边,则弦AB所对的圆周角的度数为
45°或135°
45°或135°

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