Question

阅读与理解题．
阅读部分：如图1，△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=3，DC=2，求△ABC的面积．
解：将△ADB、△ADC分别沿AB翻折得△ABE、△ACF延长EB、FC交于点G，易证四边形AEGF为正方形，设AD=x，则BG=x-3，CG=x-2，在Rt△BGC中，有BG²+GC²=BC²，即（x-3）²+（x-2）²=5²  整理得x²-5x-6=0，解得x=6（x=-1舍去），进而求得S_△ABC=15．
上述问题的解决方法，是将几何问题转化为代数问题，通过设元，建立方程模型，进而使问题得到了解决．那么代数问题能否用几何的方法解决呢？
理解部分：请在如图2Rt△ABC（∠C=90°）中，通过比例线段解方程：

x2+1

+

x2-24x+160

=13．

Answer 1

分析：构造直角三角形ABC，∠C=90°，AB=13，BC=12，根据勾股定理求出BC=5，作出矩形DCNM，D、N分别在AC、BC边上，M在AB上，使DC=4，AD=1，设CN=x，NB=y，将原方程变形后得出AM+MB=AB，即

x2+1

+

y2+42

=13，此时DM与CB平行，利用两直线平行同位角相等得到两对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形ADM与三角形ACB相似，由相似得比例，将各自的值代入求出x的值，将x的值代入原方程检验，即可确定出原无理方程的解．

解答：解：原方程变形得：

x2+1

+

(x-12)2+42

=13，
设y=12-x，方程化为：

x2+1

+

y2+42

=13，
构造Rt△ABC，∠C=90°，AB=13，BC=12，
根据勾股定理得：AC=

132-122

=5，
作出矩形DCNM，D、N分别在AC、BC边上，M在AB上，使DC=4，AD=1，
设CN=x，NB=y，
在Rt△ADM中，AD=1，DM=CN=x，
根据勾股定理得：AM=

AD2+DM2

=

x2+1

；
在Rt△MNB中，MN=DC=4，NB=y，
根据勾股定理得：MB=

MN2+NB2

=

y2+42

，
则AM+MB=AB，即

x2+1

+

y2+42

=13，
此时DM∥CB，
则△ADM∽△ACB，
则

AD

AC

=

DM

CB

，即

1

5

=

x

12

，
解得x=

12

5

，
经检验，x=

12

5

是原方程的解．

点评：此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，以及平行线的性质，解题思路为：将几何问题转化为代数问题，通过设元，建立方程模型，进而使问题得到了解决．