Question

阅读下列材料，并回答问题．
画一个直角三角形，使它的两条直角边分别为5和12，那么我们可以量得直角三角形的斜边长为13，并且5²+12²=13²．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中，两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则a²+b²=c²，这个结论就是著名的勾股定理．
请利用这个结论，完成下面的活动：
（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为

10

．
（2）满足勾股定理方程a²+b²=c²的正整数组（a，b，c）叫勾股数组．例如（3，4，5）就是一组勾股数组．观察下列几组勾股数
①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41；
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：

11，60，61

．
（3）如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．AC=3，DC=1，求BD的长度．

（4）如图，点A在数轴上表示的数是

-

5

，请用类似的方法在下图数轴上画出表示数

3

的B点（保留作图痕迹）．

Answer 1

分析：（1）根据“在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方”，可得出这个直角三角形斜边长；
（2）先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足a²+b²=c²；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，
如3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25，9²=81=40+41…，由以上特点我们可第⑤组勾股数：11²=121=60+61；
（3）根据勾股定理先求得AD，再证明△ACD≌△BED，从而得出BD的长度．
（4）由勾股定理得出矩形的对角线的长，再由点A的位置可得出点A所表示的数，再以2，1分别为斜边和直角边，且另一直角边为

3

．

解答：解：（1）

62+82

=10…（2分）；

（2）第5组勾股数为：11，60，61…（2分）

（3）∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠BDE=90°
在Rt△ADC和Rt△BDE中

AD=BD AC=BE

∴Rt△ADC≌Rt△BDE…（2分）
∴AD=BD
∵AD²+CD²=AC²
∴AD²=AC²-CD²=9-1=8…（2分）
∴AD=

8

∴BD=

8

…（2分）
（4）-

5

…（2分），图略（正确标出点B）…（2分）

点评：本题考查了勾股定理、直角三角形的全等，勾股数以及勾股定理的应用．