Question

（2013•来宾）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E，F，G，H分别是梯形各边的中点．
（1）请用全等符号表示出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线），并选其中一对加以证明；
（2）求证：四边形EFGH是菱形．

Answer 1

分析：（1）由在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E，F，G，H分别是梯形各边的中点，根据等腰梯形的性质，利用SAS可判定△AEH≌△DGH，同理可得证得△BEF≌△CGF；
（2）首先连接AC，BD，由三角形的中位线的性质，可得EH=FG=

1

2

BD，GH=EF=

1

2

AC，继而可得EH=GH=GF=EF，则可证得四边形EFGH是菱形．

解答：证明：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A=∠D，AB=CD，
∵E，F，G，H分别是梯形各边的中点，
∴AH=DH，AE=DG，
在△AEH和△DGH中，

AH=DH ∠A=∠D AE=DG

，
∴△AEH≌△DGH（SAS），
同理可得：△BEF≌△CGF．
∴图中所有的全等三角形有：△AEH≌△DGH，△BEF≌△CGF；

（2）连接AC，BD，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∵E，F，G，H分别是梯形各边的中点，
∴EH=FG=

1

2

BD，GH=EF=

1

2

AC，
∴EH=GH=GF=EF，
∴四边形EFGH是菱形．

点评：此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质以及菱形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．