Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB上一动点，作DF⊥BC于F，交CA的延长线于E．
（1）试判断AD、AE的大小关系，并说明理由；
（2）若D在BA的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？试画图并加以说明；
（3）若D在AB的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？试画图并加以说明．

Answer 1

分析 （1）由在△ABC中，AB=AC，可得∠B=∠C，又由EF⊥BC，根据等角的余角相等，易得∠BDF=∠E，即可得∠ADE=∠E，根据等角对等边即可证得AD=AE；
（2）由在△ABC中，AB=AC，可得∠B=∠C，又由EF⊥BC，根据等角的余角相等，易得∠D=∠CEF，即可得∠D=∠AED，根据等角对等边即可证得AD=AE；
（3）由在△ABC中，AB=AC，可得∠ABC=∠C，又由EF⊥BC，根据等角的余角相等，易得∠D=∠E，根据等角对等边即可证得AD=AE．

解答 解：（1）AD=AE，
理由：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF⊥BC，
∴∠BFD=∠EFC=90°，
∴∠B+∠BDF=90°，∠C+∠E=90°，
∴∠BDF=∠E，
∵∠ADE=∠BDF，
∴∠ADE=∠E，
∴AD=AE；
（2）结论成立；
如图2，∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF⊥BC，
∴∠BFD=∠EFC=90°，
∴∠B+∠D=90°，∠C+∠CEF=90°，
∴∠D=∠CEF，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠D=∠AED，
∴AD=AE；
（3）结论成立；
如图3，∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF⊥BC，
∴∠BFD=∠EFC=90°，
∴∠FBD+∠D=90°，∠C+∠E=90°，
∴∠ABC+∠D=90°，
∴∠D=∠E，
∴AD=AE；

点评 此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．