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精英家教网如图,ABCD为平行四边形,以BC为直径的⊙O经过点A,∠D=60°,BC=2,一动点P在AD上移动,过点P作直线AB的垂线,分别交直线AB、CD于E、F,设点O到EF的距离为t,若B、P、F三点能构成三角形,设此时△BPF的面积为S.
(1)计算平行四边形ABCD的面积;
(2)求S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)△BPF的面积存在最大值吗?若存在,请求出这个最大值,若不存在,请说明理由.
分析:(1)要求平行四边形ABCD的面积,已知底边AB,再需证明AC为平行四边形ABCD底边AB上的高即可,并求得AC的大小.因此根据圆O为△ABC外接圆,BC为圆O的直径,可得到AC⊥AB;根据∠D的大小得到∠B的大小.在Rt△ABC中,根据边角间的关系可求得AC、AB的值.进而求得平行四边形ABCD的面积.
(2)作OH⊥AB于点H,由(1)和垂径定理知BH的大小.要求△BPF的面积为S,需求底边PF的值与高EB的值.要求PF的值可根据∠D与FD来求得,进一步需求得CD与FC的大小,通过AB=CD、EA=FC,均用t来表示.而EB=EH+BH,也用t来表示,代入三角形面积公式即可.
(3)根据(2)中得出的函数式,利用配方法根据t的取值范围,求得最大值.
解答:精英家教网
解:(1)连接AC,
∵BC为直径,
∴AC⊥AB,
在平行四边形ABCD中,
∵∠D=60°,BC=2,
∴∠ABC=∠D=60°,AD=BC=2,
∴AB=
1
2
BC=1

由勾股定理,得AC=
3

S△ABCD=AB•AC=
3


(2)作OH⊥AB于点H,
由(1)和垂径定理知BH=
1
2

∵O到EF的距离为t,
∴BE=t+
1
2

在矩形ACFE中,CF=AE,AC=EF=
3

∵AE=t+
1
2
-1=t-
1
2

∴CF=t-
1
2

在平行四边形ABCD中,CD=AB=1,
∴DF=CD-CF=1-(t-
1
2
)
=
3
2
-t

PE
DF
=tan60°

∴PF=
3
(
3
2
-t)

∴S=
1
2
PF•BE=
1
2
(t+
1
2
)•
3
(
3
2
-t)
=
3
2
(-t2-
1
2
t+
3
2
t+
3
4
)
=-
3
2
t2+
3
2
t+
3
8
3
1
2
≤t≤
3
2
);

(3)存在,由(2)知S=-
3
2
t2+
3
2
t+
3
8
3
1
2
≤t≤
3
2
),
得S=-
3
2
(t-
1
2
)
2
 +
3
2
1
2
≤t≤
3
2
),
∴当t=
1
2
时,S有最大值
3
2

答:(1)平行四边形ABCD的面积为
3
;(2)S关于t的函数关系式为-
3
2
t2+
3
2
t+
3
8
3
,自变量x的取值范围为
1
2
≤t≤
3
2
;(3)△BPF的面积存在最大值,当t=
1
2
时,S有最大值
3
2
点评:本题着重考查了二次函数解析式、平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理、探究二次函数求极值等重要知识点,综合性强,能力要求极高.考查数形结合的数学思想方法.
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2
5
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10
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