Question

在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点M在BC上．
（1）若BM=3时，求点D到直线AM的距离；
（2）若AM⊥DM，求BM的长．

Answer 1

分析：（1）过点D作DH⊥AM垂足为H，根据AB=4，BM=3利用勾股定理得AM=5，然后利用sin∠DAM=sin∠AMB=

4

5

=

DH

10

即可求得DH=

4

5

×10=8；
（2）根据AM⊥DM，得到∠AMB+∠DMC=90°，然后再根据∠AMB+∠BAM=90°得到∠BAM=∠DMC，从而证得△ABM∽△DMC，利用相似三角形对应边的比相等得到

BM

DC

=

AB

MC

，从而得到BM²-10BM+16=0，解得BM即可．

解答：解：（1）如图（2），
过点D作DH⊥AM垂足为H，
∵AB=4，BM=3
∴AM=5．
∴sin∠DAM=sin∠AMB=

4

5

=

DH

10

，
∴DH=

4

5

×10=8，
（2）如图（3）
∵AM⊥DM，
∴∠AMB+∠DMC=90°，
∵∠AMB+∠BAM=90°
∴∠BAM=∠DMC
∴△ABM∽△MCD，
∴

BM

DC

=

AB

MC

BM

4

=

4

10-BM

∴BM²-10BM+16=0，解得，BM=2或BM=8．

点评：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，属于综合题，难度适中．