Question

11．（1）如图1，BE平分∠ABD，EC平分∠ACD，若∠A=50°，∠BDC=130°，求∠BEC的度数．
（2）如图2，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G₁、G₂、…、G₉，若∠BDC=140°，∠BG₁C=77°，求∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理求出∠ABD+∠ACD=∠BDC-∠A=80°，求出∠EBC+∠ECB=90°，即可得出结果；
（2）由（1）的方法得出结论，代入计算即可得出答案．

解答 解：（1）连接BC，如图所示：
∵∠A=50°，∠BDC=130°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=50°，
∴∠ABD+∠ACD=130°-50°=80°，
∵BE平分∠ABD，EC平分∠ACD，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠DBE+∠DCE=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∴∠EBC+∠ECB=50°+40°=90°，
∴∠BEC=180°-90°=90°；
（2）同（1）得：$\frac{1}{10}$（∠BDC-∠A）+∠A=∠BG₁C，
即$\frac{1}{10}$（140°-∠A）+∠A=77°，
解得：∠A=70°．

点评 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系；熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．