Question

8．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性（证明你的猜想需要用题中所有的条件）．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥BC，可证明△ABD≌△EBD，则∠A=∠E=90°，利用角与角之间的关系，证得ED=EC，则可得出结论AB+AD=BC．

解答 解：AB+AD=BC，证明如下：
过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∵BD平分∠ABC，
∴DA=DE，∠ABD=∠EBD（角平分线上的任一点到角的两条边的距离相等），
在△ABD与△BDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ABD=∠DBE}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBD，
∴AB=BE，
∴∠A=∠BED=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
在△DEC中，∠DEC=90°，∠C=45°，
∴∠EDC=45°，
∴ED=EC，
∴AD=EC，
∴BE+EC=AB+AD=BC．

点评 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，通过作辅助线构成全等三角形是解题的关键．