Question

如图，在平面直角坐标系中，以A（8，3）为圆心，5个单位长为半径的⊙O交x轴于点B，C两点．
（1）将⊙A向左平移

 

个单位长度与y轴相切，得⊙A₁，此时点A₁的坐标为

 

；
（2）求线段BC的长度．

Answer 1

考点：切线的性质,坐标与图形性质,勾股定理,垂径定理,平移的性质

专题：

分析：（1）分⊙A与y轴左侧和右侧相切两种情况，再由圆心坐标和半径可求得答案；
（2）过A作AD⊥BC，垂足为D，由垂径定理可得到BC=2BD=2CD，结合A的坐标可求得AD，再由勾股定理可求得BD，可求得BC的长．

解答：解：（1）如图1，过A作AE⊥y轴，交⊙A于点F，

∵A为（8，3），半径为5，
∴EF=AE-AF=8-5=3，
∴当⊙A与y轴在右侧相切时，可知A点向左移动的距离为3个单位长度，此时A₁坐标为（5，3）；
当⊙A与y轴在左侧相切时，可知点A向左移动距离为AE+r=8+5=13，此时A₁坐标为（-5，3）；
故答案为：3或13；（5，3）或（-5，3）；
（2）如图2，过A作AD⊥BC，垂足为D，连接AB，

则有BC=2BD，
∵A为（8，3），
∴AD=3，且AB=5，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD=4，
∴BC=8．

点评：本题主要考查切线的性质和判定，掌握圆心到切线的距离等于半径是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．