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    （2005•哈尔滨）已知：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、C，点B是抛物线与x轴的另一个交点．
    （1）求抛物线的解析式及B的坐标；
    （2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；
    （3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）先根据直线的解析式求出A、C的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式，进而可根据抛物线的解析式求出B点的坐标．
    （2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的长，然后分情况讨论：
    ①当P在线段AC上时，AP+PC=AC，3AP=PC，据此可求出AP的长，然后根据∠CAB的三角函数值或通过构建相似三角形可求出P点的坐标．
    ②当P在CA的延长线上时，CP-AP=AC，3AP=PC，据此可求出AP的长，后面同①．
    （3）可联立两函数的解析式，求出M、N的坐标，过M、N作x轴的垂线设垂足为M′、N′，由于∠MON=90°，因此可得出△MM′O与△N′NO相似，可得出M、N两点的横、纵坐标的绝对值对应成比例，据此可求出a的值．（也可用坐标系的两点间的距离公式，根据勾股定理来求解．）
    解答：解：（1）当x=0时，y=6，
    ∴C（0，6），
    当y=0时，x=-3，
    ∴A（-3，0），
    ∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A、C，
    ∴，
    解得：．
    ∴抛物线的解析式为y=-x2-x+6，
    当y=0时，整理得x2+x-6=0，
    解得：x1=2，x2=-3，
    ∴点B（2，0）．

    （2）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
    ∵S△ABP：S△BPC=1：3，
    ∴=，
    ∴AP：PC=1：3
    由勾股定理，得AC=
    当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足，
    ∴
    ∴PH=，
    ∴=2x+6，
    ∴x=-，
    ∴点P（，）
    当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足
    ∵AP：PC=1：3
    ∴AP：AC=1：2，
    ∴，
    ∴PG=3，
    ∴-3=2x+6
    ，
    ∴点P（，-3）．

    （3）存在a的值，使得∠MON=90°，
    设直线y=x+a与抛物线y=-x2-x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧）
    则
    为方程组的解
    分别过点M、N作MM’⊥x轴，NN′⊥x轴，点M、N为垂足．
    ∴M′（xM，0），N′（xN，0），
    ∴OM′=-xMON′=xN
    ∵∠MON=90°，
    ∴∠MOM′+∠NON′=90°，
    ∵∠M′MO+∠MOM′=90°，
    ∴∠M’MO=∠NON’
    ∴Rt△MM′O∽Rt△ON′N，
    ∴，
    ∴MM′•NN′=ON′•OM′，
    ∴-xM•xN=yM•y，
    由方程组消去y整理，得：x2+x+a-6=0．
    ∴xM、xN是方程x2+x+a-6=0的两个根，
    由根与系数关系得，xM+xN=，xM•xN=a-6
    又∵yM•yN=（xM+a）（xN+a）=xM•xN+（xM+xN）+a2=（a-6）-a+a2
    ∴-（a-6）=（a-6）-a+a2，
    整理，得2a2+a-15=0
    解得a1=-3，a2=
    ∴存在a值，使得∠MON=90°，其值为a=-3或a=．
    点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的计算方法、三角形相似、函数图象交点等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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    （2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；
    （3）在（2）的条件下，设乙同学从A处继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B处与乙相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自按原来的路线下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？

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