Question

如左图：直线y=kx+4k（k≠0）交x轴于点A，交y轴于点C，点M（2，m）为直线AC上一点，过点M的直线BD交x轴于点B，交y轴于点D．
（1）求的值（用含有k的式子表示．）；
（2）若S_△BOM=3S_△DOM，且k为方程（k+7）（k+5）-（k+6）（k+5）=的根，求直线BD的解析式．
（3）如右图，在（2）的条件下，P为线段OD之间的动点（点P不与点O和点D重合），OE上AP于E，DF上AP于F，下列两个结论：①值不变；②值不变，请你判断其中哪一个结论是正确的，并说明理由并求出其值．
．

Answer 1

（1）解：当x=0时，y=4k，
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0）C（0，4k），
由图象可知k＜0
∴OA=4，OC=-4k，
∴，
答：的值是-k．

（2）解：∵
解得：，
∴直线AC的解析式为：
当x=2时，y=-3，
∴M（2，-3），
过点M作ME⊥y轴于E
∴ME=2
∵S_△BOM=3S_△DOM
∴S_△BOD=4S_△DOM
又∵
∴
∴OB=4ME
∴OB=8
∴B（8，0），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
把B（8，0），M（2，-3）代入得：
则有，
解得，
∴直线BD的解析式为：，
答：直线BD的解析式为：．

（3）解：②值不变．理由如下：
过点O作OH⊥DF交DF的延长线于H，连接EH，
∵DF⊥AP
∴∠DFP=∠AOP=90°
又∠DPF=∠APO
∴∠ODH=∠OAE
∵点D在直线
∴D（0，-4）
∴OA=OD=4
又∵∠OHD=∠OEA=90°
∴△ODH≌△OAE（AAS），
∴AE=DH，OE=OH，∠HOD=∠EOA
∴∠EOH=∠HOD+∠EOD=∠EOA+∠EOD=90°，
∴∠OEH=45°
∴∠HEF=45°=∠FHE
∴FE=FH
∴等腰Rt△OHE≌等腰Rt△FHE
∴OE=OH=FE=HF
∴，
分析：（1）把x=0和y=0分别代入解析式即可求出点A、C的坐标，即可得到答案；
（2）解方程（k+7）（k+5）-（k+6）（k+5）=，求出k的值，根据已知S_△BOM=3S_△DOM，能求出B的坐标，设直线BD的解析式为：y=kx+b，代入B、M的坐标即可得到答案；
（3）②不变，过点O作OH⊥DF交DF的延长线于H，连接EH，根据解析式求出D的坐标，根据AAS证△ODH≌△OAE，得到AE=DH，OE=OH，∠HOD=∠EOA，再证等腰Rt△OH≌等腰Rt△FHE，即可推出OE=OH=FE=HF，代入②即可求出答案．
点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性很强的题目，有一定的难度，但题型较好．