Question

如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．

（1）连结BE，CD，求证：BE＝CD；

（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．

①当旋转角为     度时，边AD′落在AE上；

②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．

 

Answer 1

（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形  ∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°

∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE   即∠BAE=∠DAC

在△BAE和△DAC中，

AB＝AD

∠BAE＝∠DAC

AE＝AC，

∴△BAE≌△DAC（SAS）         ∴BE=CD              ------（3分）

（2）解：①∵∠BAD=∠CAE=60°   ∴∠DAE=180°-60°×2=60°

∵边AD′落在AE上，           ∴旋转角=∠DAE=60°  ------（2分）

②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．理由如下：

由旋转可知，AB′与AD重合            ∴AB=BD=DD′=AD′    ∴四边形ABDD′是菱形

∠DBD′＝∠PCD′

BD′＝CD′

∠BD′D＝∠PD′C，

∴△BDD′≌△CPD′（ASA）     ------（3分）