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如图,已知在直角梯形ABCD中,AD⊥DC,ABDC,AB=2,DC=3,AD=7,动点P在梯形边AB、BC上,当梯形某两个顶点和动点P能构成直角三角形时,点P到AD之距离记为d,则d为______.
①点P在AB上时,△APD是直角三角形,点A是直角顶点,
∵AB=2,
∴d=AP,0<d≤2;
当点P与点A重合时,△PDC即△ADC是直角三角形,点D是直角顶点.此时d=ap=0,
综上所述,0≤d≤2.
②如图1,点P在BC上时,△APD是直角三角形,
过点P作AD的平行线与AB的延长线相交于点E,与CD相交于点F,
则四边形AEFD是矩形,
∴EF=AD=7,AE=DF=d,
∵∠APD=90°,
∴∠APE+∠DPF=90°,
∵∠PAE+∠APE=90°,
∴∠DPF=∠PAE,
又∵∠E=∠PFD=90°,
∴△APE△PDF,
AE
PF
=
PE
DF

设PE=x,则PF=7-x,
d
7-x
=
x
d

∴d2=-x2+7x,
∵AECD,
EB
CF
=
PE
PF

d-2
3-d
=
x
7-x

∴x=7d-14,
联立
x=7d-14
d2=-x2+7x

消掉x得,50d2-245d+294=0,
解得d1=
14
5
,d2=
21
10

③如图2,点P在BC上时,△CDP是直角三角形,
过点B作BE⊥CD于E,过点P作PF⊥AD于F,
则CE=3-2=1,BE=AD=7,
在Rt△BCE中,BC=
BE2+CE2
=
72+12
=5
2

sin∠C=
DP
CD
=
BE
BC

DP
3
=
7
5
2

解得DP=
21
2
10

∵∠PDF+∠PDC=90°,∠C+∠PDC=90°,
∴∠PDF=∠C,
∴d=PF=DP•sin∠PDF=
21
2
10
×
7
5
2
=
147
50

④点P与点C重合时,点D是直角顶点,△ADC是直角三角形,
∴d=CD=3,
综上所述,d为0<d≤2,d=
14
5
,d=
21
10
,d=
147
50
,d=3.
故答案为:0≤d≤2,d=
14
5
,d=
21
10
,d=
147
50
,d=3.
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2
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