Question

如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，CE=1，点F是BC的中点，求证：AF⊥EF．

Answer 1

证明：∵正方形ABCD的边长为4，CE=1，点F是BC的中点，
∴AB=BC=4，BF=FC=BC=2，∠B=∠C=90°
∴在Rt△ABF和Rt△FCE中，
==2，且∠B=∠C=90°，
∴△ABF∽FCE，
∴∠AFB=∠FEC，
∵∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠EFC+∠AFB=90°，
则∠AFE-180°-（∠EFC+∠AFB）=90°，即AF⊥EF．
分析：由正方形的四条边相等得到AB=BC=4，再由F为BC中点，求出BF=FC=2，且四个角为直角，进而确定出两边对应成比例且夹角相等，得到三角形ABF与三角形ECF相似，由相似三角形的对应角相等得到一对角相等，再由同角的余角相等及垂直的定义即可得证．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．