Question

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点B、C分别在坐标轴上，过点M（0，6）和N（-3，0）的直线分别与AB、AC交于点D、E，已知AB=2，AC=4．
（1）求直线MN解析式和点D的坐标；
（2）若反比例函数的图象经过点D，求此函数的解析式，并通过计算判断点是E否在该函数图象上？

Answer 1

解：（1）设直线MN的解析式为y=kx+b，
将M（0，6）和N（-3，0）分别代入解析式得，
，
解得，，
函数解析式为y=2x+6．
∵AC=4，
∴在矩形OABC中，OB=4，
∴B点纵坐标为4，
将y=4代入y=2x+6得，
2x+6=4，
解得x=-1，
故D点坐标为（-1，4）．
（2）将（-1，4）代入反比例函数得，
m=-1×4=-4，
则反比例函数解析式为y=-．
在矩形ACOB中，
CO=AB=2，
C点坐标为（-2，0），
则E点横坐标为-2，
当x=-2时，y=2×（-2）+6=2，
可得，E点坐标为（-2，2），
将E（-2，2）代入y=-得，2=-，
故点E在函数图象上．
分析：（1）设函数解析式为y=kx+b，将M（0，6）和N（-3，0）分别代入解析式，组成方程组，分别求出k、b的值，从而求出一次函数解析式；求出D点纵坐标，代入一次函数解析式，即可求出D点横坐标，从而得到D点坐标．
（2）根据C点横坐标和矩形的性质，求出E点的横坐标，将E点横坐标代入一次函数解析式即可得到E点纵坐标，将E点坐标代入解析式，即可判断出E是否在函数图象上．
点评：本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、矩形的性质、函数图象上点的坐标特征等知识，综合性较强．