Question

如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F，G．
（1）若∠CBD=30°，BC=4，求线段AE的长；
（2）求证：PF+PG=AB．

Answer 1

（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠C=90°，
∵∠CBD=30°，BC=4，
∴DC=4×tan30°=4，
∵BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠CBD=30°，
∴∠EBD=∠EDB=∠CBD=30°，
∴∠ABE=90°-30°-30°=30°，
∴AE=AB•tan30°=4×=．

（2）证明：连接PE，
S_△EBD=S_△EBP+S_△EPD，
DE×AB=BE×PF+DE×PG，
∵DE=BE，
∴PF+PG=AB．
分析：（1）求出DC，AB，求出∠EBD=30°，求出∠ABE=30°，根据AB长即可求出AE．
（2）根据三角形面积公式求出即可．
点评：本题考查了平行线性质，含30度角的直角三角形性质，矩形性质，解直角三角形，三角形面积的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算扥李．