Question

平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，分别过顶点B，C作两对角线的平行线交于点E，得平行四边形OBEC．
（1）如果四边形ABCD为矩形（如图），四边形OBEC为何种四边形？请证明你的结论；
（2）如果四边形ABCD是正方形，四边形OBEC也是正方形吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

解：（1）四边形OBEC是菱形．
证明：∵BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC为平行四边形．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OB，
∴平行四边形OBEC为菱形；

（2）四边形OBEC是正方形．
证明：∵BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC为平行四边形．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB，∠BOC=90°，
∴平行四边形OBEC为正方形．
分析：（1）由平行线可得四边形OBEC为平行四边形，又矩形对角线互相平分且相等，则可得四边形OBEC为菱形；
（2）由平行线可得四边形OBEC为平行四边形，又正方形对角线互相垂直、平分且相等，则可得四边形OBEC为正方形．
点评：本题主要考查了平行四边形的判定，矩形、正方形的性质以及正方形、菱形的判定，应熟练掌握．