Question

已知a为正整数a=b-2005，若关于x的方程x²-ax+b=0有正整数解，则a的最小值是多少？
（温馨提示：先设方程的两根为x₁，x₂，然后…）

Answer 1

解：设方程的两根分别为x₁，x₂，则
，
∵x₁，x₂，中有一个为正整数，则另一个也必为正整数，不妨设x₁≤x₂，则由上式，得
x₁•x₂-（x₁+x₂）=b-a=2005，
∴（x₁-1）（x₂-1）=2006=2×17×59，
∴x₁-1=2、x₂-1=17×59；x₁-1=2×17、x₂-1=59；或x₁-1=17，x₂-1=2×59，
∴x₁+x₂的最小值是2×17+59+1+1=95，即a的最小值是95．
分析：先设方程的两根为x₁，x₂，然后利用根与系数的关系求得（x₁-1）（x₂-1）=2006=2×17×59；最后由条件“a为正整数、关于x的方程x²-ax+b=0有正整数解”求得x₁-1=2、x₂-1=17×59；
x₁-1=2×17、x₂-1=59；或x₁-1=17，x₂-1=2×59，从而推知a的最小值是93．
点评：本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．