Question

如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别是M，N．
（1）求证：MN=AM+BN；
（2）若过点C在△ABC内作直线MN，如图2，AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别是M，N，则AM、BN与MN之间有什么关系？只需写出结论即可．

Answer 1

证明：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
∠AMC=∠CNB，
∠MAC=∠NCB，
AC=CB，
△AMC≌△CNB（AAS），
AM=CN，MC=NB，
∵MN=NC+CM，
∴MN=AM+BN；

（2）结论：MN=NB-AM．
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
∠AMC=∠CNB，
∠MAC=∠NCB，
AC=CB，
△AMC≌△CNB（AAS），
AM=CN，MC=NB，
∵MN=CM-CN，
∴MN=BN-AM．
分析：（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，利用线段的和差关系证明结论；
（2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN与MN之间的数量关系．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．