Question

如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，tan∠ACB=2，二次函数的图象经过A、B、C三点．
（1）求反比例函数和二次函数的解析式；
（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD的长．

Answer 1

解：（1）设反比例函数的解析式为y=，
∵点A（2，6）在反比例函数的图象上，
∴6=，
∴k=12，
∴反比例函数的解析式为，
作AM⊥BC，垂足为M，交x轴于N，
∴CM=2．
在Rt△ACM中，AM=CM•tan∠ACB=2×2=4，
∵BC∥x轴，OC=MN=AN-AM=6-4=2，
∴点C的坐标（0，2）．
当x=2时，y=6，
∴点B的坐标（6，2）
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+2，
则，
解得，
故二次函数的解析式为；

（2）延长AC交x轴于G，作EH⊥x轴，垂足为H，
∵在平行四边形ACDE中，AC∥DE，
∴∠AGO=∠EDH，
∵BC∥x轴，
∴∠ACM=∠AGO，
∴∠ACM=∠EDH．
∵∠AMC=∠EHD=90°，AC=ED，
∴△ACM≌△EDH，
∴EH=AM=4，DH=CM=2．
∴点E（3，4），
∴OE=3，OD=OE-DH=1，
∴CD=．
分析：（1）设反比例函数的解析式为y=，由A的坐标可求出k的值，作AM⊥BC，垂足为M，交y轴于N，利用已知条件求出点B的坐标（6，2）再设二次函数的解析式为y=ax²+bx+2，把A和B的坐标代入求出a和b的值即可求出二次函数的解析式；
（2）延长AC交x轴于G，作EH⊥x轴，垂足为H，利用已知条件可证明△ACM≌△EDH，由全等三角形的性质可得：EH=AM=4，DH=CM=2，进而求出点E（3，4），所以OE=3，OD=OE-DH=1，利用勾股定理即可求出CD的长．
点评：本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式和二次函数的解析式、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用、平行四边形的性质，题目的综合性很强，难度中等，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．