Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ⊥AB？
（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S_△PQE：S_{五边形PQBCD}=1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图①，在Rt△ABC中，
AC=6，BC=8
∴AB=．
∵D、E分别是AC、AB的中点．
AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且
DE=BC=4
∵PQ⊥AB，
∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC
∴∠AED=∠B
∴△PQE∽△ACB

由题意得：PE=4-t，QE=2t-5，
即，
解得t=；

（2）如图②，过点P作PM⊥AB于M，
由△PME∽△ACB，得，
∴，得PM=（4-t）．
S_△PQE=EQ•PM=（5-2t）•（4-t）=t²-t+6，
S_梯形DCBE=×（4+8）×3=18，
∴y=18-（t²-t+6）=t²+t+12．

（3）假设存在时刻t，使S_△PQE：S_{五边形PQBCD}=1：29，
则此时S_△PQE=S_梯形DCBE，
∴t²-t+6=×18，
即2t²-13t+18=0，
解得t₁=2，t₂=（舍去）．
当t=2时，
PM=×（4-2）=，ME=×（4-2）=，
EQ=5-2×2=1，MQ=ME+EQ=+1=，
∴PQ===．
∵PQ•h=，
∴h=•=（或）．
分析：（1）如图①所示，当PQ⊥AB时，△PQE是直角三角形．解决问题的要点是将△PQE的三边长PE、QE、PQ用时间t表示，这需要利用相似三角形（△PQE∽△ACB）比例线段关系（或三角函数）；
（2）本问关键是利用等式“五边形PQBCD的面积=四边形DCBE的面积-△PQE的面积”，如图②所示．为求△PQE的面积，需要求出QE边上的高，因此过P点作QE边上的高，利用相似关系（△PME∽△ABC）求出高的表达式，从而问题解决；
（3）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻t，使S_△PQE：S_{五边形PQBCD}=1：29，则此时S_△PQE=S_梯形DCBE，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻t；点E到PQ的距离h利用△PQE的面积公式得到．
点评：本题是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度．注意题中求时刻t的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解．