Question

6．如图1，某小区有一块空闲的梯形空地OABC，其中∠AOC=90°，OA=180m，OC=100m，BC=80m，为了改善居民的生活环境，同时满足居民停车的需要，物业公司决定对其进行改造，如图2建立直角坐标系．
（1）求线段AB所在直线的函数解析式；
（2）物业公司的改造方案如下：在AB边上取一点P，过点P作PD⊥OA，PE⊥OC于E．划分出矩形ODPE部分修建花园，其余部分改造成停车场，居民要求花园的面积不得低于空地面积的60%，试通过计算说明，物业公司的改造方案是否可行；
（3）考虑到小区内行人的安全，有居民建立重新规划，将梯形空地划分的面积比为6：4的两部分，分别用于修建花园和停车场，物业公司决定采纳居民的建议，请你帮助物业公司设计一个改造方案，画出简图，并简要说明你的改造方案．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B两点的坐标，然后设线段AB所在直线的函数解析式是y=kx+b，把A、B两点的坐标代入，求出k、b的值是多少，即可确定出线段AB所在直线的函数解析式；
（2）首先作BN⊥OA与点N，BN与EP相交于点M，设EP=x，DP=y，则MP=x-80，NA=180-80=100，求出x+y=180，进而求出矩形ODPE的面积的最大值是多少；然后把它和梯形的面积的60%比较大小，判断出物业公司的改造方案是否可行即可．
（3）首先根据花园和停车场的面积比为6：4，求出花园的面积是多少；然后考虑到小区内行人的安全，可以设计一个长方形的花园和一个梯形的停车场，据此解答即可．

解答 解：（1）A点的坐标是（180，0），B点的坐标是（80，100），
设线段AB所在直线的函数解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{0=180k+b}\\{100=80k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=180}\end{array}\right.$，
∴线段AB所在直线的函数解析式是：
y=-x+180．

（2）如图1，作BN⊥OA与点N，BN与EP相交于点M，，
设EP=x，DP=y，
则MP=x-80，NA=180-80=100，
∵$\frac{MP}{NA}=\frac{BM}{BN}$，
∴$\frac{x-80}{100}=\frac{100-y}{100}$，
∴x+y=180，
∴xy≤${（\frac{x+y}{2}）}^{2}$=${（\frac{180}{2}）}^{2}$=8100，
∵S_梯形OABC=（80+180）×100÷2
=260×100÷2
=13000（平方米）
∴S_梯形OABC×60%
=13000×0.6
=7800（平方米）
∵矩形ODPE的面积最大是8100平方米，8100＞7800，
∴可以满足矩形ODPE的面积不低于空地面积的60%，
∴物业公司的改造方案可行．

（3）如图2，，
∵13000×$\frac{6}{6+4}$
=13000×0.6
=7800（平方米）
∴花园的面积是7800平方米，
∵7800÷100=78（米），
∴可以设计一个长方形的花园CMNO，和一个梯形的停车场MBAN，
其中CM=ON=78米，MB=2米，NA=102米．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了直线的解析式的求法，以及梯形的面积的求法，还有两个数的最值的判断，要熟练掌握．