Question

（1）如图甲，直角三角形ABC中，∠C=90°，分别以AB，AC，BC为边作正方形ABEF，ACMN，BCGH，面积分别设为S，P，Q，则S，P，Q满足怎样的等量关系？（直接写出结果，不需证明）
（2）如图乙，直角三角形ABC中，∠C=90°，分别以AB，AC，BC为边作等边三角形ABE，ACM，BCH，面积分别设为S，P，Q，则S，P，Q满足怎样的等量关系？并证明；
（3）如图丙，锐角三角形ABC中，分别以AC，BC为边作任意平行四边形ACMN，BCGH，面积分别设为P，Q，NM和HG的延长线相交于点D，连接CD，在AB外侧作平行四边形ABEF，使得BE，AF平行且等于CD，面积设为S，则S，P，Q满足怎样的等量关系？并证明．

Answer 1

分析：（1）S=P+Q．由于△ABC为直角三角形，所以根据勾股定理即可得到题目的结论；
（2）S=P+Q．如图，作EG⊥AB于G，由于△ABE为等边三角形，可以得到AB=BE=AE，∠ABE=60°，接着得到BG=

1

2

AB，EG=

3

2

AB，SABE=

1

2

AB•EG=

3

4

AB2，同理可以求出另外两个三角形的面积，利用勾股定理的逆定理就可以证明结论正确；
（3）S=P+Q．如图，连接DB，CE，DA，CF，根据平行四边形的性质可以得到S=S_DCEB+S_DAFCS_DCEB=2S_DCB，S_DACF=2S_DAC，P=2S_DCA，Q=2S_DCB，然后即可证明结论成立．

解答：解：（1）S=P+Q；

（2）S=P+Q
证明：作EG⊥AB于G，
∵△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=AE，∠ABE=60°，
∴BG=

1

2

AB，EG=

3

2

AB，
∴SABE=

1

2

AB•EG=

3

4

AB2
同理：SACM=

3

4

AC2，SCBH=

3

4

BC2，
又∵∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²
∴S=P+Q；

（3）S=P+Q．
证明：连接DB，CE，DA，CF
∵BE，AF平行且等于CD
∴四边形BECD，CFAD为平行四边形，
∴S=S_DCEB+S_DAFC
S_DCEB=2S_△DCB，
S_DACF=2S_△DCA，
又∵四边形BCGH，ACMN为平行四边形，
∴P=2S_△DCA，Q=2S_△DCB，
∴S=P+Q．

点评：此题是一个探究性题目，首先由特殊的三角形利用勾股定理证明猜想的结论，然后到一般图形-等边三角形、平行四边形等，探究结论是否成立，然后利用勾股定理给予证明即可解决问题．