Question

如图甲，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线CD切⊙O于点C，过点A作⊙O的直径AB．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图乙，将直线CD向下平行移动，得到CD与⊙O相切于C，AC还平分∠DAB吗？说明理由；
（3）在将直线CD向下平行移动的过程中，如图丙、丁，试指出与∠DAC相等的角（不要求证明）．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵OA、OC是⊙O的半径，
∴OA=OC，得∠OAC=∠OCA．
∵CD切⊙O于点C，
∴CD⊥OC．
又∵CD⊥PA，
∴OC∥PA，于是得∠PAC=∠OCA．
故∠OAC=∠PAC，表明AC平分∠DAB；

（2）AC平分∠DAB，连接OC，


∵CD切⊙O于C，
∴CD⊥OC．
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，于是得∠COB=∠DAB．
而OA=OC，所以∠CAO=∠ACO．
因此∠DAC=∠ACO=∠CAO，表明AC平分∠DAB；

（3）∠DAC=∠BAF，
证明：（丁图），可连接BC、BF，
直角三角形DAF中，∠DAC+∠CAF+∠CFA=90°，
直角三角形BFA中∠ABC+∠CBF+∠BAF=90°，
又因为∠CFA=∠ABC，∠CAF=∠CBF，
所以∠DAC=∠BAF．