Question

31、问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．
例：用简便方法计算195×205．
解：195×205
=（200-5）（200+5）①
=200²-5²②
=39975
（1）例题求解过程中，第②步变形是利用

平方差公式

（填乘法公式的名称）；
（2）用简便方法计算：9×11×101×10001．
问题2：对于形如x²+2ax+a²这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）²的形式．但对于二次三项式x²+2ax-3a²，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x²+2ax-3a²中先加上一项a²，使它与x²+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a²，整个式子的值不变，于是有：
x²+2ax-3a²=（x²+2ax+a²）-a²-3a²
=（x+a）²-（2a）²
=（x+3a）（x-a）．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a²-4a-12．
问题3：若x-y=5，xy=3，求：①x²+y²；②x⁴+y⁴的值．

Answer 1

分析：在问题1的（2）中，可以连续运用平方差公式；
在问题2中，要运用配方法，只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式；
在问题3中，只需把代数式化成差与积的形式，再代值计算．

解答：解：问题1：（1）平方差公式；

（2）9×11×101×10001=（10-1）（10+1）（100+1）（10000+1），
=（100-1）（100+1）（10000+1），
=（10000-1）（10000+1），
=99999999；

问题2：a²-4a-12=a²-4a+4-16=（a-2）²-16=（a+2）（a-6）；

问题3：①x²+y²=（x-y）²+2xy=25+6=31；

②x⁴+y⁴=（x²+y²）²-2x²y²=31²-2×3²=961-18=943．

点评：本题考查了平方差公式，公式法分解因式，特别注意问题3的计算方法，如果已知两个数的差与积，要尽量运用配方法把要求的代数式变为差与积的形式，再代值计算，同时3中的②小题可运用①中已求出的值，这样简便了运算．