Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点D是BC边上的点，CD=

3

，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．

解答：解：连接CE，交AD于M，
∵沿AD折叠C和E重合，
∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，
∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=

3

，
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，
∵∠DEA=90°，
∴∠DEB=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠B=60°，
∵DE=

3

，
∴BE=1，BD=2，
即BC=2+

3

，
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=2+

3

+1=3+

3

．
故答案为：3+

3

．

点评：本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．