Question

（2009•房山区二模）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=CD=10，sinC=．
（1）求直角梯形ABCD的面积；
（2）点E是BC上一点，过点E作EF⊥DC于点F．求证：AB•CE=EF•CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）如图，过点D作DG⊥BC于点G，这样把梯形分割成直角三角形和矩形，然后解直角△DGC，求出DG、CG，这样就可以求出梯形的面积了；
（2）根据（1）的结论和已知容易证明DGC∽△EFC，这样就可以证明AB•CE=EF•CD了．
解答：（1）解：过点D作DG⊥BC于点G，
∵AD∥BC，
∴四边形ABGD是矩形．
∴AB=DG，AD=BG．
在△CDG中，∠DGC=90°，CD=BC=10，
sinC=，DG=8，CG=6，
∴AD=BG=4．
∴AD+BC=14．
∴梯形ABCD的面积S=56．

（2）证明：∵DG⊥BC，EF⊥DC，
∴∠DGC=∠EFC=90°．
又∵∠C=∠C，
∴△DGC∽△EFC．
∴DG•CE=EF•CD．
∴AB•CE=EF•CD．
点评：此题考查了梯形的一种常用辅助线-作梯形的高，把梯形分割成直角三角形和矩形，然后解直角三角形求出题目结果．