精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图1所示,一张半圆形纸片,直径AB=10,点C是半圆上的一个动点.沿半径CO把这张纸片剪出△AC1O1和△BC2O2两个三角形(如图2所示).将纸片△AC1O1沿直线O2B(AB)方向平移(点A,O1,O2,B始终在同一直线上),当点O1与点B重合时,停止平移.在平移过程中,C1O1与BC2交于点E,AC1与C2O2,BC2分别交于点F、P.
(1)当△AC1O1平移到如图3所示的位置时,猜想图中的O1E与O2F的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若∠CAB=30°,设平移距离O1O2为x,△AC1O1与△BC2O2重叠部分面积为y,请写出y与x的函数关系式,以及自变量的取值范围;
(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x的值,使重叠部分的面积等于原△ABC面积的
14
.若存在,求x的值;若不存在,请说明理由.
精英家教网
分析:(1)根据平移的性质,得O1B=O2A,再根据平行线等分线段定理即可证明;
(2)根据30°直角三角形的性质、相似三角形的性质进行求解;
(3)在(2)的基础上解一元二次方程即可.
解答:解:(1)O1E=O2F.理由如下:
∵O1E∥O2C2
O1E
O2C2
=
O1B
O2B

同理
O2F
O1C1
=
O2A
O1A

根据平移的性质,知O1B=O2A,
∴O1E=O2F.

(2)∵AB是直径,
∴∠C=90°,
∴∠B=90°-30°=60°,
∴∠APB=90°.
在直角三角形APB中,AB=10-x,
则BP=
1
2
AB=5-
1
2
x,
则AP=5
3
-
3
2
x.
则直角三角形APB的面积是
3
8
x2-
5
3
2
x+
25
2
3

∵O1E∥O2C2
S△O2C2B
S△O1EB
=
25
(5-x)2

则S△O1EB=
1
4
3
(5-x)2

则y=
3
8
x2-
5
3
2
x+
25
2
3
-2×
1
4
3
(5-x)2
=-
3
3
8
x2
+
5
2
3
x(0≤x≤5).

(3)根据题意,得-
3
3
8
x2
+
5
2
3
x=
1
4
×
25
2
3

解,得x=
5
3
或5.
点评:此题综合考查了相似三角形的判定及性质、圆周角定理、平移的性质以及三角形的面积公式,难度较大.
在求不规则图形的面积时,要哪个转化为规则图形的面积.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

24、小颖正用一张半圆形纸片制作量角器模型.如图所示,AB是半圆的直径,点O是圆心.规定点A处的读数为180°,点B处的读数为0°,已知∠BOC=30°.现沿直线OC折叠,将点B翻折至半圆上点B′处.连接B B′,A B′,OB′.
(1)指出点B′处的读数是多少?说明理由.
(2)猜想:图中有相互平行及相互垂直的线段吗?若有,请用相应数学符号将它们一一表示出来;若没有,请直接作否定的回答,不必说明理由.
(3)利用此图,你能徒手(即不能用其它画图工具)找出读数为150°的点吗?简要说明你的操作方法,并在图中标出其大致位置(用点D表示).

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2008年海珠区初中毕业生学业模拟考试数学试题及答案 题型:044

如图1所示,一张半圆形纸片,直径AB=10,点C是半圆上的一个动点.沿半径CO把这张纸片剪出△AC1O1和△BC2O2两个三角形(如图2所示).将纸片△AC1O1沿直线O2B(AB)方向平移(点A,O1,O2,B始终在同一直线上),当点O1于点B重合时,停止平移.在平移过程中,C1O1与BC2交于点E,AC1与C2O2,BC2分别交于点F、P.

(1)当△AC1O1平移到如图3所示的位置时,猜想图中的O1E与O2F的数量关系,并证明你的猜想;

(2)若∠CAB=30°,设平移距离O1O2为x,△AC1O1与△BC2O2重叠部分面积为y,请写出y与x的函数关系式,以及自变量的取值范围;

(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x的值,使重叠部分的面积等于原△ABC面积的.若存在,求x的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图1所示,一张半圆形纸片,直径AB=10,点C是半圆上的一个动点.沿半径CO把这张纸片剪出△AC1O1和△BC2O2两个三角形(如图2所示).将纸片△AC1O1沿直线O2B(AB)方向平移(点A,O1,O2,B始终在同一直线上),当点O1与点B重合时,停止平移.在平移过程中,C1O1与BC2交于点E,AC1与C2O2,BC2分别交于点F、P.
(1)当△AC1O1平移到如图3所示的位置时,猜想图中的O1E与O2F的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若∠CAB=30°,设平移距离O1O2为x,△AC1O1与△BC2O2重叠部分面积为y,请写出y与x的函数关系式,以及自变量的取值范围;
(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x的值,使重叠部分的面积等于原△ABC面积的数学公式.若存在,求x的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2008年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷(解析版) 题型:解答题

如图1所示,一张半圆形纸片,直径AB=10,点C是半圆上的一个动点.沿半径CO把这张纸片剪出△AC1O1和△BC2O2两个三角形(如图2所示).将纸片△AC1O1沿直线O2B(AB)方向平移(点A,O1,O2,B始终在同一直线上),当点O1与点B重合时,停止平移.在平移过程中,C1O1与BC2交于点E,AC1与C2O2,BC2分别交于点F、P.
(1)当△AC1O1平移到如图3所示的位置时,猜想图中的O1E与O2F的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若∠CAB=30°,设平移距离O1O2为x,△AC1O1与△BC2O2重叠部分面积为y,请写出y与x的函数关系式,以及自变量的取值范围;
(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x的值,使重叠部分的面积等于原△ABC面积的.若存在,求x的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案