Question

图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由题意得到四边形ABCD为矩形，BC=2，再根据中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，得到BC•AB-（S_半圆AD+S_半圆BC-S）=S，即2AB-π•1²+S=S，可求出AB=，则OP=AB=，在Rt△OEP中，利用勾股定理可计算出EP，即可得到两圆的公共弦长EF．
解答：解：∵AB，CD为两等圆的公切线，
∴四边形ABCD为矩形，BC=2，
设中间一块阴影的面积为S，
∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，
∴BC•AB-（S_半圆AD+S_半圆BC-S）=S，即2AB-π•1²+S=S，
∴AB=．
如图，EF为公共弦，PO⊥EF，
OP=AB=，
∴EP===，
∴EF=2EP=．
故选D．
点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．