Question

（1）如图，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6则AD的取值范围是______
A．6＜AD＜8　 B．6≤AD≤8　C．1＜AD＜7　D．1≤AD≤7
（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．

Answer 1

解：（1）延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，
∵AD=DM，BD=CD，∠ADC=∠MDB，
∴△ADC≌△BDM，
∴BM=AC，
在△ABM中，根据三角形三边关系定理，得2＜AM＜14，
即2＜2AD＜14，所以AD的范围是1＜AD＜7．
故选：C．
（2）∵△ADC≌△BDM，
∴∠M=∠CAD，BM=AC，
∵AE=EF，
∴∠CAD=∠AFE，
∵∠MFB=∠AFE，
∴∠BMF=∠BFM，
∴BM=BF，
∴AC=BF．
分析：（1）延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，易证明△ADC≌△BDM，得到BM=AC；在△ABM中，根据三角形三边关系定理，得2＜AM＜14，即2＜2AD＜14，即可得出AD的范围；
（2）利用（1）中△ADC≌△BDM，得出∠M=∠CAD，BM=AC，进而得出∠BMF=∠BFM即可得出答案．
点评：此题考查了三角形全等的判定方法；注意此题中的辅助线的作法．能够根据全等三角形的性质，把要求的线段和已知的线段转换到一该三角形，根据三角形的三边关系进行求解．