Question

把抛物线y=x²向右、向下平移，使它经过点A（1，0）且与x轴的另一个交点B在A的右侧，与y轴交于点C，如图所示．
（1）求∠ABC的度数；
（2）设D是平移后抛物线的顶点，若BD⊥BC，试确定平移的方法．

Answer 1

分析：（1）设B（a，0），（a＞1），由交点式可知平移后抛物线解析式为y=（x-1）（x-a）=x²-（a+1）x+a，可知抛物线与y轴的交点坐标C（0，a），即OB=OC=a，可求∠ABC的度数；
（2）由|AB|=a-1，可推出∠ABD=45°，故D点坐标为（1+

a-1

2

，-

a-1

2

），再代入抛物线解析式求a，确定顶点坐标和平移方法．

解答：解：（1）设B（a，0），（a＞1），
则平移后抛物线解析式为y=（x-1）（x-a）=x²-（a+1）x+a，
∴抛物线与y轴的交点坐标C（0，a），
即OB=OC=a，
∠ABC=45°；

（2）根据题意，得|AB|=a-1，
∠ABD=∠CBD-∠ABC=45°，
∴D点坐标为（1+

a-1

2

，-

a-1

2

），即（

a+1

2

，-

a-1

2

），
代入抛物线y=（x-1）（x-a）中，得
（

a+1

2

-1）（

a+1

2

-a）=-

a-1

2

，
解得a=3，
∴D（2，-1），
故抛物线y=x²向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线．

点评：本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．