Question

如图，在?ABCD中，AD=4，∠DAB=120°，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，交BC于点M．
（1）求⊙O的半径；
（2）求、线段CM、CD、AD所围成的阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

解：（1）连接OE，过A作AF⊥DC，
∵CD为圆O的切线，
∴OE⊥CD，OE为圆O的半径，
又四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴AF=OE，∠DAB+∠D=180°，
又∠DAB=120°，
∴∠D=60°，
在Rt△ADF中，∠D=60°，AD=4，
∴AF=AD•sin60°=4×=2，
则圆O的半径为2；
（2）连接OM，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=60°，又OM=OB，
∴△OBM为边长为2的等边三角形，
则S_阴影=S_{平行四边形ABCD}-S_扇形AOM-S_△BOM=4×2--×（2）²=24-4π-3．
分析：（1）连接OE，由CD与圆O相切，利用切线的性质得到OE垂直于CD，过A作AF垂直于CD，利用平行线间的距离处处相等得到AF=OE，在直角三角形ADF中，由平行四边形的邻角互补求出∠D=60°，利用锐角三角函数定义及AD的长求出AF的长，得到OE的长，即为圆O的半径；
（2）利用平行四边形的对角相等，由∠D=60°得到∠B=60°，再由OM=OB，得到三角形OBM为等边三角形，平行四边形为AB为底，其长为圆O的直径长，高为圆的半径长，利用平行四边形的面积公式求出，扇形的圆心角∠AOM=120°，半径为圆O的半径，利用扇形的面积公式求出，等边三角形的边长等于圆O的半径，求出等边三角形的面积，利用阴影部分的面积=平行四边形的面积-扇形AOM的面积-等边三角形OBM的面积，即可求出阴影部分的面积．
点评：此题考查了切线的性质，平行四边形的性质，扇形的面积求法，等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．