Question

已知平面内点P到⊙O上各点的最大距离为10，最小距离为4，则⊙O的半径r＝________．

Answer 1

答案：7或3
解析：

思路与技巧：如图，当点P在⊙O内时，过点P作直径AB，则PA、PB的长分别是点P到⊙O上各点的最小距离和最大距离，这个结论我们可以通过比较来验证：过点P作任意弦CD(不过圆心)，连结OC、OD，根据三角形的三边关系可知：OP＋PC＞OC，而OC＝OA＝OP＋PA，∴OP＋PC＞OP＋PA．故PA＜PC．因此PA的长是点P到⊙O上各点的最小距离．又因为OP＋OD＞PD，所以OP＋OB＞PD，即PB＞PD．因此PB的长是点P到⊙O上各点的最大距离．因此，由题意可知PA＝4，PB＝10，直径AB＝14，半径r＝7． 　　如图，当点P在⊙O外时，类似地，可求得点P到⊙O上各点的最小距离PA＝4，最大距离PB＝10，直径AB＝6，半径r＝3． 　　综上所述，⊙O的半径r应为7或3． 　　评析：通过本例，我们能发现：已知点P与⊙O，直线PO交⊙O于A、B两点，若PA＜PB，则PA、PB的长分别是点P到⊙O上各点的最小距离与最大距离．