Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0）．所以1、3是关于x的一元二次方程x²+bx+c=0的两根．由韦达定理易求b、c的值；
（2）如图，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．根据抛物线的对称性质得到PA=PB，则△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可；
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，所以根据抛物线解析式利用顶点坐标公式即可求得点D的坐标．

解答：解：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2．
∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．
∵抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A，B，
∴1、3是关于x的一元二次方程x²+bx+c=0的两根．
由韦达定理，得
1+3=-b，1×3=c，
∴b=-4，c=3，
∴抛物线的函数表达式为y=x²-4x+3；

（2）连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．
由（1）知抛物线的函数表达式为y=x²-4x+3，A（1，0），B（3，0），
∴C（0，3），
∴BC=

32+32

=3

2

，AC=

32+12

=

10

．
∵点A、B关于对称轴x=2对称，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC．
此时，PB+PC=BC．
∴点P在对称轴上运动时，（PA+PC）的最小值等于BC．
∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3

2

+

10

．
（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x²-4x+3的顶点坐标，即（2，-1），
当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意，
故点D的坐标为：（2，-1）．
故答案是：（2，-1）．

点评：本题考查的值轴对称-最短路线问题，解题过程中用到的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式，轴对称--两点间距离最短，菱形的性质．