Question

方程x²-kx+k-2=0有两个实数根x₁，x₂，且0＜x₁＜1，2＜x₂＜3，求k的取值范围．

Answer 1

解：∵方程x²-kx+k-2=0有两个实数根x₁，x₂，且0＜x₁＜1，2＜x₂＜3，
∴二次函数y=x²-kx+k-2如图所示，
∴x=0，y=k-2＞0；x=1，y=1-k+k-2＜0；x=2，y=4-2k+k-2＜0；x=3，y=9-3k+k-2＞0，
而△=k²-4（k-2）=（k-2）²+4＞0，
∴2＜k＜，
即k的取值范围为2＜k＜．
分析：由于方程x²-kx+k-2=0有两个实数根x₁，x₂，且0＜x₁＜1，2＜x₂＜3，根据一元二次方程与二次函数的关系可画出二次函数y=x²-kx+k-2的图象，根据图象得到当x=0，y=k-2＞0；当x=1，y=1-k+k-2＜0；当x=2，y=4-2k+k-2＜0；当x=3，y=9-3k+k-2＞0，求出几个不等式解的公共部分即可得到k的取值范围．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程与二次函数的关系．