Question

2．如图，矩形OABC的边长OA=8，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E、F，且tan∠BOA=$\frac{1}{2}$．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式及F点坐标；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折叠分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

Answer 1

分析 （1）在Rt△AOB中，由三角函数的定义可求得AB的长；
（2）由矩形的性质可求得B点坐标，则可求得D点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值，则可求得F点的坐标；
（3）连接FG，设OG=t，则FG=t，CG=4-t，在Rt△CGF中由勾股定理可得到关于t的方程，可求得t的值，即可求得OG的长．

解答 解：
（1）在Rt△AOB中，
∵tan∠BOA=$\frac{1}{2}$，
∴AB=OA•tan∠BOA=8×$\frac{1}{2}$=4；

（2）由（1）可知B点坐标为（8，4），
∵D为OB的中点，
∴D（4，2），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象过点D，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$，
设F（a，4），
∵反比例函数图象与矩形的边BC交于点F，
∴4a=8，解得a=2，
∴F（2，4）；

（3）连接FG，如图，

∵F（2，4），
∴CF=2，
设OG=t，则OG=FG=t，CG=4-t，
在Rt△CGF中，由勾股定理可得GF²=CF²+CG²，即t²=（4-t）²+2²，解得t=$\frac{5}{2}$，
∴OG=$\frac{5}{2}$．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、三角函数的定义、勾股定理、折叠的性质及方程思想等知识．在（1）中掌握三角函数的定义是解题的关键，在（2）中求得D点的坐标是解题的关键，在（3）中利用折叠的性质在直角三角形中应用勾股定理得到关于OG的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．