Question

15．如图，二次函数y=-ax²+2ax+c（a＞0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，过A的直线y=kx+2k（k≠0）与这个二次函数图象交于另一点F，与其对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DE=EF．
（1）求A点坐标；
（2）若△BDF的面积为12，求此二次函数的表达式；
（3）设二次函数图象顶点为P，连接PF，PC，若∠CPF=2∠DAB，求此二次函数的表达式．

Answer 1

分析 （1）求出一次函数值为0时对应的自变量的值可得到A点坐标；
（2）利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=1，则利用对称性得到B点坐标为（4，0），把A点坐标代入得c=8a，则抛物线解析式为y=-ax²+2ax+8a，再根据DE=EF可确定F（2，8a），接着把F（2，8a）代入一次函数得到y=kx+2k得k=2a，所以D（0，4a），然后利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•（4+2）•8a-$\frac{1}{2}$•（4+2）•4a=12，于是解方程求出a，从而得到抛物线解析式；
（3）利用抛物线的解析式为y=-ax²+2ax+8a得到C（0，8a），P（1，9a），则可判断CF∥x轴，所以E（1，8a），根据二次函数的对称性判断△PCF为等腰三角形，则∠CPF=2∠CPE，于是可证明∠DAB=∠CPE，然后根据相似三角形的判定方法可得到Rt△ADO∽Rt△PCE，再利用相似比可其求出a的值，从而得到抛物线解析式．

解答 解：（1）当y=0时，kx+2k=0，解得x=-2，则A（-2，0）；
（2）∵二次函数y=-ax²+2ax+c（a＞0）的图象的对称轴为直线x=-$\frac{2a}{2×（-a）}$=1，
∴B点坐标为（4，0），
把A（-2，0）代入y=-ax²+2ax+c得-4a-4a+c=0，
∴c=8a，
∴抛物线解析式为y=-ax²+2ax+8a，
∵DE=EF，
∴F点的横坐标为2，
∴F（2，8a），
把F（2，8a）代入y=kx+2k得8a=2k+2k，解得k=2a，
∴y=2ax+4a，
当x=0时，y=4a，则D（0，4a），
∵S_△BDF=S_△FAB-S_△DAB，
∴$\frac{1}{2}$•（4+2）•8a-$\frac{1}{2}$•（4+2）•4a=12，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+8；
（3）抛物线的解析式表示为y=-ax²+2ax+8a，D（0，4a），F（2，8a），
当x=0时，y=-ax²+2ax+8a=8a，则C（0，8a），
当x=1时，y=-ax²+2ax+8a=9a，则P（1，9a），
∵F（2，8a），C（0，8a），
∴CF∥x轴，E（1，8a），
∴△PCF为等腰三角形，
∴PE平分∠CPF，即∠CPF=2∠CPE，
∵∠CPF=2∠DAB，
∴∠DAB=∠CPE，
∴Rt△ADO∽Rt△PCE，
∴$\frac{AO}{PE}$=$\frac{OD}{CE}$，即$\frac{2}{a}$=$\frac{4a}{1}$，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），
∴抛物线的解析式表示为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x²+$\sqrt{2}$x+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会求二次函数和一次函数与坐标轴的交点坐标；能利用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形性质．