Question

如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AH⊥BC，交BD于E，垂足为H，已知CH=4，AH=8
（1）求菱形的周长；（2）求OE的长度．

Answer 1

解：（1）设AB=x，则BC=x，BH=BC-CH=x-4，在Rt△ABH中，AH²+BH²=AB²，
∴8²+（x-4）²=x²，解得x=10，
∴菱形周长为40．

（2）∵AH=8，CH=4，
∴AC==4，
∴CO=AO=AC=2，
∵BC=10，CO=2，
∴BO==4
∵∠BHE=∠BOC=90°，∠EBH=∠CBO，
∴△BHE∽△BOC，
∴，
∴，
∴EH=3，
∴AE=AH-EH=8-3=5，
∴OE==
分析：（1）设AB=x，则BC=x，利用勾股定理求出x的值，即可求出菱形的周长；
（2）利用勾股定理可求出AC和BO的长，根据对角线互相平分可求出OC的长，利用三角形相似的性质即可求出EH，进而得到AE，再利用勾股定理即可求出OE．
点评：本题考查了菱形的性质：四边相等、对角线互相垂直平分和勾股定理以及相似三角形的判定和性质的运用．