Question

（2011•葫芦岛）如图（1）至图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，点B、C、E在同一条直线上．
（1）已知：如图（1），AC=AB，AD=AE．求证：①CD=BE；②CD⊥BE．
（2）如图（2），当AB=kAC，AE=kAD（k≠1）时，分别说出（1）中的两个

②

结论是否成立，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得出△CAD≌△BAE．则∠ACD=∠ABE．再由∠BAC=90°，即可得出CD⊥BE；
（2）①不成立，②成立．
可证明△ACD∽△ABE，则

CD

BE

=

AC

AB

，∠ACD=∠ABE，由k≠1，则BE≠CD．从而得出①不成立；可证明CD⊥BE，则②成立．

解答：解：（1）如图（1），∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠CAD=∠BAE．
在△ACD和△ABE中，AC=AB，AD=AE，
∴CD=BE．（3分）
∴∠ACD=∠ABE．
∵∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠ACB=90°．
∴∠ACD+∠ACB=90°，即CD⊥BE．（5分）

（2）如图（2），①不成立．（6分）
理由如下：
∵AB=kAC，AE=kAD，
∴

AC

AB

=

AD

AE

=

1

k

．
又∠BAC=∠DAE，
∴∠DAC=∠EAB．
∴△ACD∽△ABE．
∴

CD

BE

=

AC

AB

，∠ACD=∠ABE．
∵AB=kAC，
∴BE=kCD．
∵k≠1，
∴BE≠CD．
∴①不成立．（7分）
②成立．（8分）
由上可知，∠ACD=∠ABE．
又∵∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠ACB=90°．
∴∠ACD+∠ACB=90°．
即　CD⊥BE，即②成立．（9分）

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一道综合题目，难度较大．