Question

如图，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（C、F两点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心P在x轴上），抛物线y=x²+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，正方形CDEF的面积为4．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设直线AC与抛物线对称轴交于点N，点Q是此对称轴上不与点N重合的一动点．
①求△ACQ周长的最小值；
②设点Q的纵坐标为t，△ACQ的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并指出相应的t的取值范围．

Answer 1

解：（1）如图，连接PE、PB，设PC=n，
由正方形CDEF的面积为4，可得CD=CF=2，
根据圆和正方形的对称性知，OP=PC=n，
由PB=PE，根据勾股定理，得
PB²=BC²+PC²=4n²+n²=5n²，
PE²=PF²+EF²=（n+2）²+4，即5n²=（n+2）²+4
解得n₁=2或n₂=-1（舍去）．
∴BC=OC=4，
故点B的坐标为（4，4）；
（2）由（1）A（0，4），C（4，0），
∵抛物线y=x²+bx+c经过A、C两点，
∴
解得，．
∴抛物线的解析式为y=x²-x+4；
（3）①如图，延长AB交抛物线于点A′，连接CA′交对称轴x=6于点Q，连接AQ，则有AQ=A′Q．△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长．
利用勾股定理，在Rt△AOC中，AC==4，
在Rt△A′BC中，A′C==4，
即△ACQ周长的最小值为4+4；
②直线AC的解析式为x+y-4=0，当x=6时，y=-2，由于点Q与N不重合，
∴t≠-2，
当t＞-2时，
Q点在F点上方时，S=S_梯形ACFK-S_△AKQ-S_△CFQ=×（6+2）×2-×（4-t）×6-×t×2=2t-4，
同理，当t＜-2时可得：当Q点在线段FN上时，S=-2t-4．
分析：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为4，可得CD=CF=2，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标；
（2）由（1）知A（0，4），C（4，0），即可求得抛物线的解析式；
（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=6于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值；
②分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，题目难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用．