Question

4．如图1所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上移动，动点F在AC边上移动．
（1）当点E，F分别为边BA，AC的中点时，求线段EF．
（2）当∠EOF=45°时，
①设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围．
②若以O为圆心的圆与AB相切（如图2），试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）当E、F分别为BA、AC中点时，EF为三角形ABC中位线，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出BC的长，即可确定出EF的长；
（2）①根据题意利用等式的性质得到一对角相等，再由一对角为45°，利用两对角相等的三角形相似得到三角形BOE与三角形OCF相似，由相似得比例列出y与x间的函数解析式，并求出x的范围即可；
②EF与圆O相切，理由为：由①得出的三角形BOE与三角形COF相似，得比例，把CO换为BO，变形后利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形BEO与三角形OEF相似，利用相似三角形对应角相等得到∠BEO=∠FEO，利用角平分线定理得到O到EB、EF的距离相等，而AB与圆O相切，可得出∠OFE=90°，即OF与AC垂直，且OF为半径，即可确定出EF与圆O相切．

解答 解：（1）在△ABC中，AB=AC=2，
∴根据勾股定理得：BC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵点E，F分别为边BA，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=$\sqrt{2}$；
（2）在△OEB和△FOC中，
∵∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135°，
∴∠FOC=∠OEB，
又∵∠B=∠C，
∴△OEB∽△FOC，
∴$\frac{BE}{CO}$=$\frac{BO}{FC}$，
∵BE=x，CF=y，OB=OC=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{x}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{y}$，即y=$\frac{2}{x}$，其中1≤x≤2；
（3）EF与⊙O相切，理由为：
∵△OEB∽△FOC，
∴$\frac{OE}{FO}$=$\frac{BE}{CO}$，
∴$\frac{OE}{FO}$=$\frac{BE}{BO}$，即$\frac{OE}{BE}$=$\frac{FO}{BO}$，
又∵∠B=∠EOF=45°，
∴△BEO∽△OEF，
∴∠BEO=∠OEF，
∴点O到AB和EF的距离相等，
∵AB与⊙O相切，
∴点O到EF的距离等于⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切．

点评 此题属于圆综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，以及直线与圆相切的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．