Question

20．己知二次数y=x²-4x+3的图象与x轴分别交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，在图象的对称轴上存在一点P使得PA+PC有最小值，通过计算得出其最小值为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在图象的对称轴上存在一点P使得PA+PC有最小值，根据A、B关于对称轴对称，PA+PC=PB+PC最小，根据两点之间线段最短可知线段BC即为所求．

解答 解：∵二次数y=x²-4x+3的图象与x轴分别交于点A、B（A在B的左侧），
当y=0时，0=x²-4x+3，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴A（1，0）、B（3，0），对称轴为x=2，
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
当点P是其对称轴上一动点，PA+PC取得最小值时，根据两点之间线段最短，线段BC即为所求，
根据勾股定理BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了点的坐标和待定系数法以及线段和最小值问题，建立模型解决最小值问题是解决问题的关键．