Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，3），连接BC、AC，该二次函数图象的对称轴与x轴相交于点D．
（1）求这个二次函数的解析式、点D的坐标及直线BC的函数解析式；
（2）点Q在线段BC上，使得以点Q、D、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，若存在点Q，请任选一个Q点求出△BDQ外接圆圆心的坐标．

Answer 1

分析：（1）设二次函数为y=a（x+2）（x-4），把点C（0，3）代入求出a的值即可得出二次函数的解析式，进而得出抛物线的解析式求出对称轴方程，故可得出D点坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，；
（2）根据勾股定理求出BC的长，由于相似三角形的对应角不能确定，故应分∠QDB=∠CAB和∠DQB=∠CAB两种情况进行讨论；
（3）当点Q的坐标为（2，

3

2

）时，设圆心的M（

5

2

，y），根据MD=MQ即可求出y的值，故可得出结论．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（-2，0）、B（4，0），
与y轴交于点C（0，3），
∴设二次函数为y=a（x+2）（x-4），把点C（0，3）代入得，a（0+2）（0-4）=3，
解得a=-

3

8

，
∴这个一次函数的解析式为：y=-

3

8

x²+

3

4

x+3；
∵y=-

3

8

x²+

3

4

x+3=-

3

8

（x-1）²+

27

8

，
∴抛物线的对称轴是直x=1，
∴点D的坐标为（1，0）．　
设直线BC的解析式为；y=kx+b（k≠0），
∴

4k+b=0 b=3

，解得

k=- 3 4 b=3

，
∴直线BC的解析式为y=-

3

4

x+3．

（2）∵A（-2，0），B（4，0），C（0，3），D（1，0），
∴OD=1，BD=3，CO=3，BO=4，AB=6，
∴BC=

OB2+OC2

=

42+32

=5，
如图1，当∠QDB=∠CAB时，

QB

CB

=

DB

AB

，

QB

5

=

3

6

，解得QB=

5

2

过点Q作QH⊥x轴于点H，
∵OC⊥x轴，
∴QH∥CO．
∴

QH

3

=

5 2

5

．解得QH=

3

2

．
把y=

3

2

代入y=-

3

4

x+3，得x=2．
∴此时，点Q的坐标为（2，

3

2

）；
如图2，当∠DQB=∠CAB时，

QB

AB

=

DB

CB

，即

QB

6

=

3

5

，得QB=

18

5

．
过点Q作QG⊥x轴于点G，
∵OC⊥x轴，
∴QG∥CO．
∴

QG

3

=

18 5

5

．解得QG=

54

25

．
把y=

54

25

代入y=-

3

4

x+3，得x=

28

25

．
∴此时，点Q的坐标为（

28

25

，

54

25

）．
综上所述，点Q坐标为（2，

3

2

）或（

28

25

，

54

25

）；

（3）当点Q的坐标为（2，

3

2

）时，设圆心的M（

5

2

，y）．
∵MD=MQ，
∴（

5

2

-1）²+y²=（

5

2

-2）²+（y-

3

2

）²，解得y=

1

12

，
∴M（

5

2

，

1

12

）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、抛物线的顶点坐标、相似三角形的性质等相关知识，难度较大．