Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BCD=120°，BC=CD．
（1）求证：CD∥AB；
（2）求S_△ACD：S_△ABC的值．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理得∠ACB=90°，则∠ACD=30°，利用圆内角四边形的性质得∠DAB=60°，由于BC=CD，所以弧BC=弧CD，则∠DAC=∠BAC=30°，
于是可计算出∠B=60°，则∠B+∠BCD=180°，根据平行线的判定即可得到CD∥AB；
（2）连结OA、OB，根据圆周角定理得∠DOC=2∠DAC=60°，则△ODC为等边三角形，易得△OBC为等边三角形，再利用AB∥CD得S_△ADC=S_△ODC，
而S_△OBC=S_△ODC，S_△ABC=2S_△OBC，即可计算出S_△ACD：S_△ABC的值．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD=120°，
∴∠ACD=30°，∠DAB=180°-∠BCD=60°，
∵BC=CD，
∴弧BC=弧CD，
∴∠DAC=∠BAC=

1

2

×60°=30°，
∴∠B=90°-∠BAC=60°，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴CD∥AB；

（2）连结OA、OB，如图，
∵∠DOC=2∠DAC=60°，
∴△ODC为等边三角形，
而∠B=60°，
∴△OBC为等边三角形，
∵AB∥CD，
∴S_△ADC=S_△ODC，
而S_△OBC=S_△ODC，S_△ABC=2S_△OBC，
∴S_△ACD：S_△ABC=1：2．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等边三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质．