Question

如图直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D为x正半轴上一动点（OD＞1），连接BD，以线段BD为边在第一象限内作正方形DEFB，M是正方形DEFB对角线的交点，直线MA交y轴于点Q．
（1）△OBD与△ABM相似吗？为什么？
（2）随着点D位置的变化，点Q的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点Q的坐标；若有变化，请说明理由．
（3）随着点D位置的变化，连接BQ、DQ，请探究△QBD能否为直角三角形？如果能请求出点E的坐标，如果不能请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可根据正方形的性质，利用“SAS”证明相似；
（2）利用（1）中的相似三角形，证明角相等，从而可证△AOQ为等腰直角三角形，得出Q点坐标；
（3）如果∠QBD=90°，可证△BCQ≌△BAD，为求E点坐标，过E点作x轴的垂线，垂足为G，利用角的互余关系，可证△EDG≌△DBA，再求E点坐标．

解答：解：（1）△ABM∽△OBD．
证明：∵OB：AB=BD：BM=

2

，
∠OBD=∠ABM=135°，
∴△ABM∽△OBD．

（2）Q点的坐标不变，是Q（0，-1）；
证明：∵△ABM∽△OBD，
∴∠BAM=∠BOD=45°，∠OAQ=180°-∠OAB-∠BAM=45°，
∴△OAQ为等腰直角三角形，可证得OQ=OA=1；

（3）△QBD可以是直角三角形．
过E点作x轴的垂线，垂足为G，当∠DBQ=90°时，
∵∠CBQ+∠QBA=90°，∠QBA+∠ABD=90°，
∴∠CBQ=∠ABD，
又∵BC=BA，∠C=∠BAD，
∴△BCQ≌△BAD，
∴AD=CQ=2，
易证△EDG≌△DBA，
∴DG=AB=1，EG=AD=2，
∴△QBD能成为直角三角形，点E的坐标为（

5 +3

2

，

5 -1

2

）或E（4，2）．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形，相似三角形的判定及运用，点的坐标的求法，在变中寻找不变的量．